Question

3．如图四边形ABCD，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足b（1+cosA）=a（2-cosB）．
（1）证明：b+c=2a；
（2）若b=c=$\sqrt{2}$，DA=2DC=2，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知等式，利用余弦定理可得b（1+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$）=a（2-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$），整理可得b+c=2a．
（2）由条件和（1）的结论得△ABC为等边三角形，可求S_△ABC，由余弦定理求得cos∠CAD的值，可得sin∠CAD的值，利用三角形面积公式可求S_△ACD，由S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD即可计算得解．

解答 解：（1）∵b（1+cosA）=a（2-cosB），
∴由余弦定理可得：b（1+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$）=a（2-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$），
∴b+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2c}$=2a-$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2c}$，
∴整理可得：b+c=2a．
（2）∵b=c=$\sqrt{2}$，DA=2DC=2，由（1）可得b+c=2a，
∴a=b=c=$\sqrt{2}$，△ABC为等边三角形，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB•sin∠BAC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵在△ACD中，由余弦定理可得：cos∠CAD=$\frac{A{C}^{2}+A{D}^{2}-C{D}^{2}}{2AC•AD}$=$\frac{2+4-1}{2×2×\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，可得sin∠CAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠CAD}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•AD•sin∠CAD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{14}}{8}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于中档题．