Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$，g（x）=kx-1，若函数y=f（x）-g（x）有且仅有4个不同的零点．则实数k的取值范围为（　　）

• A． （1，6）
• B． （0，1）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 化简可得函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$与g（x）=kx-1的图象有四个不同的交点，从而作图，结合图象求导，利用导数的几何意义求解．

解答 解：∵函数y=f（x）-g（x）有且仅有4个不同的零点，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$与g（x）=kx-1的图象有四个不同的交点，
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，x≤0\\ xlnx，x＞0\end{array}$与g（x）=kx-1的图象如下，
，
易知直线y=kx-1恒过点（0，-1）；
设A（x，x²+4x），y′=2x+4；
故2x+4=$\frac{{x}^{2}+4x+1}{x}$，
故x=-1；
故k=-2+4=2；
设B（x，xlnx），y′=lnx+1，
则lnx+1=$\frac{xlnx+1}{x}$，
解得，x=1，故k=ln1+1=1，
结合图象可知，
实数k的取值范围为（1，2），
故选C．

点评 本题考查了函数的性质的应用及导数的综合应用，同时考查了数形结合的思想方法应用．