Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sin（C-A）=$\sqrt{2}$sinC，$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$
（Ⅰ）当b=1时，求△ABC面积的最大值；
（Ⅱ）求$\frac{a}{b}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得范围$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤c≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，由sin（C-A）+sinB=$\sqrt{2}$sinC，利用两角和与差的正弦函数公式化简可得cosA的值，进而可求sinA，利用三角形面积公式即可解得其最大值．
（Ⅱ）由$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式解得sinB的范围，利用正弦定理即可得解$\frac{a}{b}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，b=1，
∴由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{c}{b}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，可得：$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤c≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∵sin（C-A）+sinB=$\sqrt{2}$sinC，
⇒sin（C-A）+sin（C+A）=$\sqrt{2}$sinC，
⇒2sinCcosA=$\sqrt{2}$sinC，（sinC≠0），
⇒cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$×c∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{5}{8}$]．
∴△ABC面积的最大值为$\frac{5}{8}$．
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）得sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤$\frac{sinC}{sinB}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
⇒$\frac{sinAcosB+cosAsinB}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（cosB+sinB）}{sinB}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]，
⇒$\frac{cosB}{sinB}$=±$\sqrt{\frac{1-si{n}^{2}B}{si{n}^{2}B}}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
⇒sinB∈[$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，1]．
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sinB}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{26}}{4}$]．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查了不等式的解法及应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．