Question

4．已知函数f（x）=lnx的图象总在函数g（x）=ax²-$\frac{1}{2}$（a＞0）图象的下方，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 设h（x）=g（x）-f（x）=ax²-lnx-$\frac{1}{2}$，利用导数求得x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，函数h（x）取得最小值-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，利用函数f（x）=lnx的图象总在函数g（x）=ax²-$\frac{1}{2}$（a＞0）图象的下方，可得-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＞0，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：设h（x）=g（x）-f（x）=ax²-lnx-$\frac{1}{2}$，则h′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=0（x＞0），
∴x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$
0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，h′（x）＜0；x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，h′（x）＞0，
∴x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，函数h（x）取得最小值-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∵函数f（x）=lnx的图象总在函数g（x）=ax²-$\frac{1}{2}$（a＞0）图象的下方，
∴-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$＞0，∴a＞$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的最值，考查导数知识的运用，正确构造函数，合理运用导数是关键．