Question

12．已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1，c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，记数列{c_n}的前n项和为T_n．若对任意的n∈N^*，不等式T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{{a}_{1}+{a}_{1}q+5=2{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，从而求得；
（Ⅱ）化简b_n=log₂a_n+1=n，c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而化简不等式为k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$恒成立；从而求得．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}=7}\\{{a}_{1}+{a}_{1}q+5=2{a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，a₁=1，q=2或q=-$\frac{2}{3}$（舍去）；
故a_n=2^n-1；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n+1=n，
c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
要使T_n≤k（n+4）恒成立，
即k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$恒成立；
而n+$\frac{4}{n}$+5≥9，（当且仅当n=2时，等号成立）；
故$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{9}$；
故实数k的取值范围为[$\frac{1}{9}$，+∞）．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的应用，同时考查了基本不等式与恒成立问题，属于中档题．