Question

3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC．
（Ⅰ） 求B的大小；
（Ⅱ） 若b=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，化简整理a²+c²-b²+ac=0，再由余弦定理，求得角B的大小，
（Ⅱ）由三角行的内角和定理，求得C及sinC，再由正弦定理，求得c的值，可求得三角形的面积．

解答 （Ⅰ）解：∵2bsinB=（2a+c）sinA+（2c+a）sinC，
由正弦定理得，2b²=（2a+c）a+（2c+a）c，…（1分）
化简得，a²+c²-b²+ac=0．…（2分）
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{-ac}{2ac}=-\frac{1}{2}$．…（4分）
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{2π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）解：∵A=$\frac{π}{4}$，∴C=$π-\frac{π}{4}-\frac{2π}{3}=\frac{π}{3}-\frac{π}{4}$．…（6分）
∴sinC=sin$（{\frac{π}{3}-\frac{π}{4}}）$=$sin\frac{π}{3}cos\frac{π}{4}-cos\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}$=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．…（8分）
由正弦定理得，$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，…（9分）
∵$b=\sqrt{3}$，B=$\frac{2π}{3}$，
∴$c=\frac{bsinC}{sinB}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$．…（10分）
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}×sin$$\frac{π}{4}$=$\frac{{3-\sqrt{3}}}{4}$．…（12分）

点评 本题在△ABC中给出边与角的正弦的等式，要我们求角的大小并且由此求三角形的面积，着重考查了正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于基础题．