Question

5．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

Answer 1

分析 通过a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），利用累加法可知，当n≥2时a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，进而只需验证当n=1时是否成立即可．

解答 解：∵a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3^n-1+3^n-2+…+3¹+1
=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
又∵a₁=1满足上式，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式，考查累加法，注意解题方法的积累，属于中档题．