Question

19．在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₄=8
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第6项和第8项，求|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a₁=1，a₄=8，求出q=2，问题得以解决；
（II）先等差数列{b_n}的通项公式b_n=b₁+（n-1）d=-26+6（n-1）=6n-32，可得当n≤5时b_n≤0且当n≥6时b_n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|的表达式．

解答 解：（I）设等比数列的公比为q．
由a₁=1，a₄=8
所以a₄=a₁q³=8
所以q=2
所以等比数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1，n∈N^*．
（II） 因为a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第6项和第8项，
所以b₆=a₃=4，b₈=a₅=16，
设等差数列{b_n}的公差为d
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}+7d=16}\\{{b}_{1}+5d=4}\end{array}\right.$解得，b₁=-26，d=6，
所以等差数列{b_n}的通项公式b_n=b₁+（n-1）d=-26+6（n-1）=6n-32
因为当6n-32≤0时，n≤5．
（1）当n≤5时，可得|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b_n）=-3n²+29，
（2）当n≥6时，|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=-（b₁+b₂+…+b₅）+b₆+b₇+…+b_n=70+（3n²-29n+70）=3n²-29n+140；
综上所述：|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=$\left\{\begin{array}{l}{-3{n}^{2}+29n，n≤5，n∈N*}\\{3{n}^{2}-29n+140，n≥6，n∈N*}\end{array}\right.$

点评 本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和运算能力，属于中档题．