已知集合Ωn={X|X=(x1.x2.-.xi.-.xn).xi∈{0.1}.i=1.2.-.n}.其中n≥3．?X={x1.x2.-.xi.-.xn}∈Ωn.称xi为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn.且满足如下两条性质:①S中元素个数不少于4个,②?X.Y.Z∈S.存在m∈{1.2.-.n}.使得X.Y.Z的第m个坐标分量是1,则称S为Ωn的一个好子� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

18．已知集合Ω_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_i，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．?X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}∈Ω_n，称x_i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ω_n，且满足如下两条性质：
①S中元素个数不少于4个；
②?X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；
则称S为Ω_n的一个好子集．
（1）S={X，Y，Z，W}为Ω₃的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；
（2）若S为Ω_n的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2^n-1；
（3）若S为Ω_n的一个好子集，且S中恰有2^n-1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．

分析（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，
（2）若S为Ω_n的一个好子集，考虑元素X′=（1-x₁，1-x₂，…，1-x_i，…，1-x_n），进行判断证明即可．
（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．

解答解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分
（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1-x₁，1-x₂，…，1-x_i，…，1-x_n），
显然X′∈Ω_n，?X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x_i，y_i，1-x_i不可能都为1，
可得X，X′不可能都在好子集S中…4分
又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，
且由X的定义知道，?X，Y∈Ω，X′=Y′?X=Y…6分
这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ω_n中元素个数的一半，
而集合Ω_n中元素个数为2ⁿ，所以S中元素个数不超过2^n-1；…8分
（Ⅲ）?X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}，．?Y={y₁，y₂，…，y_i，…，y_n}∈Ω_n，
定义元素X，Y的乘积为：XY={x₁y₁，x₂y₂，…，x_iy_i，…，x_ny_n}，显然XY∈Ω_n，．
我们证明：
“对任意的X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}∈S，
都有XY∈S．”
假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，
则由（Ⅱ）知，（XY）′={1-x₁y₁，1-x₂y₂，…，1-x_iy_i，…1-x_n-1y_n-1，1-x_ny_n}∈S，
此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x_k，y_k，1-x_ky_k不可能同时为1，矛盾，
所以XS∈S．
因为S中只有2^n-1个元素，我们记Z={z₁，z₂，…，z_i，…，z_n}为S中所有元素的乘积，
根据上面的结论，我们知道={z₁，z₂，…，z_i，…，z_n}∈S，
显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z_k=1，
根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分
下面再证明k的唯一性：
若还有z_t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，
所以此时集合S中元素个数至多为2^n-2个，矛盾．
所以结论成立…13分

点评本题主要考查命题的真假判断，涉及与集合有关的新定义，读懂题意是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

练习册系列答案

鸿鹄志文化期末冲刺王寒假作业系列答案

名题教辅寒假作业快乐衔接武汉出版社系列答案

名榜文化假期作业寒假郑州大学出版社系列答案

赢在假期电子科技大学出版社系列答案

金牌教辅中考学霸123系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>