Question

2．设x³+ax+b=0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④．（写出所有正确条件的编号）
①a=b=-3；②a=-3，b=2；③a=-3，b＞2；④a=0，b=2．

Answer 1

分析 令f（x）=x³+ax+b=x³-3x-3，求导f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），从而判断函数的单调性及极值，从而可得①正确；同理求得．

解答 解：令f（x）=x³+ax+b，
当a=b=-3时，f（x）=x³-3x-3，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
f（-1）=-1，f（1）=1-3-3=-5，
故f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，
故方程有且只有一个根；
同理可得，
②a=-3，b=2不正确；
③a=-3，b＞2；④a=0，b=2也正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了函数的零点与函数的关系应用及导数的综合应用，属于中档题．