Question

11．在△ABC中，AB=2，cosA=-$\frac{1}{8}$，点D在BC边上，且满足AD=$\sqrt{2}$，2BD=DC，则cosB的值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设AC=x，BD=a，则DC=2a，由余弦定理建立方程，求出a，x，再用余弦定理求出cosB的值．

解答 解：设AC=x，BD=a，则DC=2a，
由余弦定理可得cos∠ADB=$\frac{{a}^{2}+2-4}{2\sqrt{2}a}$，cos∠ADC=$\frac{4{a}^{2}+2-{x}^{2}}{4\sqrt{2}a}$，
∴$\frac{{a}^{2}+2-4}{2\sqrt{2}a}$+$\frac{4{a}^{2}+2-{x}^{2}}{4\sqrt{2}a}$=0，
∴a²=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$x²，
∵9a²=4+x²-2×2×x×（-$\frac{1}{8}$），
∴3+$\frac{3}{2}$x²=4+x²+$\frac{1}{2}$x，
∴x²-x-2=0，
∴x=2，
∴a=1，
∴BC=3，
∴cosB=$\frac{4+9-4}{2×2×3}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查解三角形，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．