Question

19．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且2a_n+S_n=An²+Bn+C．
（1）当A=B=0，C=1时，求a_n；
（2）若数列{a_n}为等差数列，且A=1，C=-2．
①设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和；
②设c_n=$\frac{{{T_n}-6}}{4^n}$，若不等式c_n≥$\frac{m}{8}$对任意n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A=B=0，C=1代入2a_n+S_n=An²+Bn+C，求得数列首项，进一步可得数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，则数列的通项公式可求；
（2）①由已知求出B，得到数列{a_n}的通项公式，代入b_n=2ⁿ•a_n，利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和T_n；
②把T_n代入c_n=$\frac{{{T_n}-6}}{4^n}$，由函数的单调性求其最小值，由$\frac{m}{8}$小于等于c_n的最小值求得m的取值范围．

解答 解：（1）当A=B=0，C=1时，2a_n+S_n=1，
∴${a}_{1}=\frac{1}{3}$；
当n≥2时，2a_n-1+S_n-1=1，
两式作差得：3a_n=2a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，
∴${a}_{n}=\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$；
（2）当A=1，C=-2时，2a_n+S_n=n²+Bn-2，
∴${a}_{1}=\frac{B-1}{3}$，${a}_{2}=\frac{5B+7}{9}$，${a}_{3}=\frac{19B+59}{27}$，
∵数列{a_n}为等差数列，
∴$\frac{B-1}{3}+\frac{19B+59}{27}=\frac{10B+14}{9}$，解得：B=4．
∴a₁=1，a₂=3，则d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
①b_n=2ⁿ•a_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和${T}_{n}=1•{2}^{1}+3•{2}^{2}+…+（2n-1）•{2}^{n}$，
$2{T}_{n}=1•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+（2n-3）•{2}^{n}+（2n-1）•{2}^{n+1}$，
两式作差得：$-{T}_{n}=2+{2}^{3}+{2}^{4}+…+{2}^{n+1}-（2n-1）•{2}^{n+1}$
=（-2n+3）•2ⁿ⁺¹-6，
∴${T}_{n}=（2n-3）•{2}^{n+1}+6$；
②c_n=$\frac{{{T_n}-6}}{4^n}$=$\frac{（2n-3）•{2}^{n+1}}{{4}^{n}}=\frac{（2n-3）}{{2}^{n-1}}$，
∵$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$单调递增，
∴当n=1时，$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$有最小值为-1，
∴$\frac{m}{8}≤-1$，即m≤-8．
∴实数m的取值范围是（-∞，-8]．

点评 本题考查数列的求和，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．