Question

10．已知a＜-1，函数f（x）=$\sqrt{（{x}^{3}-1）^{2}}$+x³+ax（x∈R），求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 当x≤1时，f（x）=1+ax，从而判断出为减函数；当x＞1，化简f（x）=2x³+ax-1，从而求导判断函数的单调性，从而求最小值．

解答 解：当x≤1时，
f（x）=$\sqrt{（{x}^{3}-1）^{2}}$+x³+ax
=1-x³+x³+ax=1+ax，
故f（x）在（-∞，1]上是减函数；
当x＞1，
故f（x）=$\sqrt{（{x}^{3}-1）^{2}}$+x³+ax=x³-1+x³+ax=2x³+ax-1，
f′（x）=6x²+a=6（x+$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）（x-$\sqrt{\frac{-a}{6}}$），
当-6≤a＜-1时，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$≤1；
故f（x）在（1，+∞）上是增函数；
故f_min（x）=f（1）=1+a；
当a＜-6时，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$＞1，
故f（x）在（1，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$]上是减函数，在（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）上是增函数；
故f_min（x）=f（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）=$\frac{2}{3}$a$\sqrt{\frac{-a}{6}}$+1．

点评 本题考查了分类讨论的思想与转化思想的应用，同时考查了导数的综合应用及函数的性质应用．