Question

15．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1，函数y=f（x+1）-1为奇函数，则函数f（x）的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 化简y=f（x+1）-1=（x+1）³+a（x+1）²+b（x+1）+1-1=x³+（3+a）x²+（3+2a+b）x+1+b+a，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{3+a=0}\\{1+a+b=0}\end{array}\right.$，从而化简出f（x）=x³-3x²+2x+1，求导f′（x）=3x²-6x+2=3（x-1）²-1=3（x-1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）以确定函数的单调性，从而确定函数的零点的个数．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+1，
∴y=f（x+1）-1=（x+1）³+a（x+1）²+b（x+1）+1-1
=x³+3x²+3x+1+ax²+2ax+a+bx+b
=x³+（3+a）x²+（3+2a+b）x+1+b+a，
∵函数y=f（x+1）-1为奇函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+a=0}\\{1+a+b=0}\end{array}\right.$，
解得，a=-3，b=2；
故f（x）=x³-3x²+2x+1，
f′（x）=3x²-6x+2=3（x-1）²-1=3（x-1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故f（x）在（-∞，1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上是增函数，在（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上是减函数，
在（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是增函数；
且f（1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=1+1-$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{9}$-4+2$\sqrt{3}$+2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1＞0，
f（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=1+1+$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{9}$-4-2$\sqrt{3}$+2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1＞0，
∴函数f（x）的零点个数为1，
故选B．

点评 本题考查了函数的性质的应用及导数的综合应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用．