Question

5．已知f（x）是R上的增函数，且对任意实数x，都有f（f（x）-3^x）=4，则f（x）+f（-x）的最小值是4．

Answer 1

分析 通过f（f（x）-3^x）为定值4及函数的单调性可知f（x）-3^x为定值c，进而可求出c=1，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：依题意，f（x）-3^x为定值c，即f（x）=c+3^x，
又∵f（f（x）-3^x）=4，
∴f（x）-3^x=f（c）=4，
即c+3^c=4，解得：c=1，
∴f（x）=1+3^x，
∴f（x）+f（-x）=2+3^x+3^-x≥2+2$\sqrt{{3}^{x}•{3}^{-x}}$=2+2=4，
当且仅当3^x=3^-x时取等号，
故答案为：4．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查了转化思想，涉及基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．