Question

13．已知a，c为正整数，b＞0，且abc（a+b+c）=1，求（a+b）（b+c）的最小值．

Answer 1

分析 a，c为正整数，b＞0，且abc（a+b+c）=1，即ac（ab+b²+bc）=1，变形（a+b）（b+c）=ac+（ab+b²+bc），利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a，c为正整数，b＞0，且abc（a+b+c）=1，即ac（ab+b²+bc）=1，
∴（a+b）（b+c）=ac+（ab+b²+bc）≥$2\sqrt{ac•（ab+{b}^{2}+bc）}$，当且仅当ac=ab+b²+bc时取等号，
当a=c=1时，ab+b²+bc=b+b²+b=1，b＞0，解得b=$\sqrt{2}$-1，
因此（a+b）（b+c）的最小值为2．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．