Question

4．已知等差数列{a_n}满足a₂=0，a₆+a₈=-10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设出等差数列的首项和公差，由已知列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）直接利用等差数列的前n项和公式求解；
（3）把数列{a_n}的通项公式代入$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，利用错位相减法求前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a₂=0，a₆+a₈=-10，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{2{a}_{1}+12d=-10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=-1}\end{array}\right.$．
∴a_n=1-（n-1）=2-n；
（2）${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）×（-1）}{2}$=$\frac{-{n}^{2}+3n}{2}$；
（3）$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n-1}}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{0}{{2}^{1}}+\frac{-1}{{2}^{2}}+…+\frac{2-n}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{0}{{2}^{2}}+\frac{-1}{{2}^{3}}+…+\frac{1-n}{{2}^{n-1}}+\frac{2-n}{{2}^{n}}$，
两式作差得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=1-\frac{1}{{2}^{1}}-\frac{1}{{2}^{2}}-…-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$1-\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2-n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．