Question

2．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列；
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx（ω＞0），且f（x）图象上相邻两最高点的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件以及正弦定理求出B的正弦值，然后求角B的大小；
（Ⅱ）利用周期函数的周期公式和两角和与差的正弦函数得到f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．然后由（2x-$\frac{π}{6}$）的取值范围来确定f（A）的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
∵A+B+C=π，0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴sin（A+C）=sin（π-B）≠0，
∴sin（π-B）=sinB=2sinBcosB，
∴cosB=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）．
由已知可得：$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∵B=$\frac{π}{3}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$-A．
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴0＜$\frac{2π}{3}$-A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$），
∴f（A）的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查正弦定理，三角形的内角和的应用以及两角和与差的正弦函数，注意角的范围的应用，考查计算能力．