Question

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3asinB=c，cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，D是AC的中点，且BD=$\sqrt{26}$，则△ABC的面积为6．

Answer 1

分析 根据正弦定理和余弦定理建立方程关系求出a，b，c以及A，利用三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：由cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵3asinB=c，
∴3sinAsinB=sinC，
即3$\sqrt{5}$sinA=5sinC，
即3$\sqrt{5}$sinA=5sin（A+B），
即3$\sqrt{5}$sinA=5（sinAcosB+cosAsinB）=5×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinA+5×$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosA=2$\sqrt{5}$sinA+$\sqrt{5}$cosA，
即$\sqrt{5}$sinA=$\sqrt{5}$cosA，
则sinA=cosA，即tanA=1，则A=$\frac{π}{4}$，
则c²+$\frac{1}{4}$b²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$bc=26，
∵c=3asinB=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，b=$\frac{\sqrt{10}}{5}$a，
∴$\frac{9}{5}$a²+$\frac{1}{10}$a²-$\frac{3}{5}$a²=26，
即$\frac{13}{10}$a²=26，
则a=2$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{2}$，c=6，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×6$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6，
故答案为：6

点评 本题主要考查三角形面积的计算，根据条件结合正弦定理和余弦定理建立方程组，求出a，b，c的值是解决本题的关键．