Question

17．已知各项均为正数的数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，b${\;}_{n+1}^{2}$=b_nb_n+2，且9b${\;}_{3}^{2}$=b₂b₆，若$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$，则（　　）

• A． 数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是等比数列，且a_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
• B． 数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是等差数列，且a_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
• C． 数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是等比数列，且a_n=（2n-1）•3^n-1
• D． 数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是等差数列，且a_n=（2n-1）•3^n-1

Answer 1

分析 由9b${\;}_{3}^{2}$=b₂b₆=${{b}_{4}}^{2}$可得q=3，化简$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$可得$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2，从而求得．

解答 解：∵9b${\;}_{3}^{2}$=b₂b₆=${{b}_{4}}^{2}$，
∴q=3，
∴b_n=3^n-1；
又∵$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2{b}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+2{b}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$+2，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{b}_{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=1为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1；
∴a_n=（2n-1）•3^n-1．
故选D．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用及构造法与整体思想的应用．