Question

8．[B]已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=4a_n+（n-4）（n+1）（n∈N⁺）．
（1）计算a₁，a₂，a₃，根据计算结果，猜想a_n的表达式；
（2）设数列{b_n}满足（a_n-n）•b_n=2n-1（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1、2、3计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，当n=1时，2a₁=4a₁-6，即a₁=3；
当n=2时，2（a₁+a₂）=4a₂-4，即a₂=6；
当n=3时，2（a₁+a₂+a₃）=4a₃-4，即a₂=11；
由此可知猜想a_n=n+2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=n+2ⁿ，
∵数列{b_n}满足（a_n-n）•b_n=2n-1（n∈N⁺），
∴b_n=（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+5•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（2n-3）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+4（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1+1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-3}}$-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-2}}}{1-\frac{1}{2}}$-2（2n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．