Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•2^-n，T_n为数列{b_n}的前n项和．
①求T_n的表达式；
②求使T_n＞2的n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把S_n+1+S_n-1=2S_n+1整理为：（s_n+1-s_n）-（s_n-s_n-1）=1，即a_n+1-a_n=1  即可说明数列{a_n}为等差数列；再结合其首项和公差即可求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）因为数列{b_n}的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中n≥2，n∈N^*，
∴（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1（n≥2，n∈N^*，），
∴a₂-a₁=1，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n+1；
（2）∵a_n=n+1；
∴b_n=a_n•2^-n=（n+1）2^-n，
∴T_n=2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n$•\frac{1}{{2}^{n-1}}$+（n+1）$•\frac{1}{{2}^{n}}$…（1）
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=2×$\frac{1}{{2}^{2}}$+3×$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n$•\frac{1}{{2}^{n}}$+（n+1）$•\frac{1}{{2}^{n+1}}$…（2）
（1）-（2）得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-（n+1）$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
代入不等式得：3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$＞2，即$\frac{n+3}{{2}^{n}}-1＜0$，
设f（n）=$\frac{n+3}{{2}^{n}}$-1，f（n+1）-f（n）=-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$＜0，
∴f（n）在N₊上单调递减，
∵f（1）=1＞0，f（2）=$\frac{1}{4}$＞0，f（3）=-$\frac{1}{4}$＜0，
∴当n=1，n=2时，f（n）＞0；当n≥3，f（n）＜0，
所以n的取值范围为n≥3，且n∈N^*．

点评 本题主要考查等差关系的确定以及利用错位相减法求数列的和．错位相减法适用于一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列