Question

16．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}（{a}_{n}+3）}$，n∈N₊，且b_n=$\frac{1}{3+{a}_{n}}$，记P_n=b₁•b₂•b₃…b_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，则3ⁿ⁺¹P_n+S_n=3．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n+1}}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+3}=\frac{1}{{a}_{n}}-{b}_{n}$，然后求出P_n与S_n，代入3ⁿ⁺¹P_n+S_n得答案．

解答 解：∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}（{a}_{n}+3）}$，b_n=$\frac{1}{3+{a}_{n}}$，
∴${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n+1}}$，$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+3}=\frac{1}{{a}_{n}}-{b}_{n}$，
∴P_n=b₁•b₂•b₃…b_n =$\frac{{a}_{1}}{3{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{3{a}_{3}}…\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n+1}}=\frac{1}{{3}^{n+1}•{a}_{n+1}}$，
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=3-$$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
则3ⁿ⁺¹P_n+S_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+3-\frac{1}{{a}_{n+1}}=3$．
故答案为：3．

点评 本题考查数列求和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，是中档题．