Question

4．已知单调递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n•log₂a_n，其前n项和为S_n，若（n-1）²≤m（S_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出等比数列{a_n}的首项和公比，由已知列式求得首项和公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b_n=a_n•log₂a_n，利用错位相减法求得S_n，代入（n-1）²≤m（S_n-n-1），分离变量m，由单调性求得最值得答案．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列的{a_n}首项为a₁，公比为q．
由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（q+{q}^{2}+{q}^{3}）=28}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2{a}_{1}{q}^{2}+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∵数列为单调递增的等比数列，
∴a_n=2ⁿ；
（Ⅱ）b_n=a_n•log₂a_n =n•2ⁿ，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
若（n-1）²≤m（S_n-n-1）对于n≥2恒成立，
则（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n-1]=m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+1-n]对于n≥2恒成立，
即$m≥\frac{（n-1）^{2}}{（n-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{n-1}{{2}^{n+1}-1}$对于n≥2恒成立，
∵$\frac{n}{{2}^{n+2}-1}-\frac{n-1}{{2}^{n+1}-1}=\frac{n•{2}^{n+1}-n-n•{2}^{n+2}+{2}^{n+2}+n-1}{（{2}^{n+2}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{-（n-2）•{2}^{n+1}-1}{（{2}^{n+2}-1）（{2}^{n+1}-1）}＜0$，
∴数列{$\frac{n-1}{{2}^{n+1}-1}$}为递减数列，
则当n=2时，$\frac{n-1}{{2}^{n+1}-1}$的最大值为$\frac{1}{7}$．
∴m≥$\frac{1}{7}$．
则实数m得取值范围为[$\frac{1}{7}$，+∞）．

点评 本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了利用数列的单调性求最值，是中档题．