Question

1．直线l：x+y-1=0交椭圆ax²+by²=1（a＞0，b＞0）于A，B两点．交x轴于点N，设AB的中点为M，若|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，求a，b的关系表达式以及a，b的取值范围．

Answer 1

分析 N（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），直线方程与椭圆方程联立化为：（a+b）x²-2bx+b-1=0，由△＞0，化为：a+b＞ab（*）．利用根与系数的关系、中点坐标公式及其|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，化简即可得出．

解答 解：N（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{a{x}^{2}+b{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（a+b）x²-2bx+b-1=0，
△=4b²-4（a+b）（b-1）＞0，化为：a+b＞ab（*）．
∴x₁+x₂=$\frac{2b}{a+b}$，
∴x₀=$\frac{b}{a+b}$，y₀=$\frac{a}{a+b}$．
∵|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，∴$\sqrt{（\frac{b}{a+b}-1）^{2}+（\frac{a}{a+b}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
化为：b=3a．
代入（*）：4a＞3a²，a＞0，解得0＜$a＜\frac{4}{3}$；
∴0＜b＜4．且a≠b．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．