Question

16．如图，在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，AC=$\sqrt{3}$，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为．

Answer 1

分析 由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，由AD=AB，B=60°可知A＞60°，结合图形可知周长l=AD+AC+DC=2sinA+$\sqrt{3}$，结合正弦函数的性质可求．

解答 解：∵AD=AB，B=60°，
∴A＞60°．
∵B=$\frac{π}{3}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴A+C=120°即A=120°-C
由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA
∴CD=2sinA-2sinC
周长l=AD+AC+DC=2sinA+$\sqrt{3}$，
∵60°＜A＜120°
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sinA≤1
∴2$\sqrt{3}$＜l≤2+$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$＜l≤2+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．