Question

6．有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现把球全部放入盒子中，
（1）若恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
（2）若每个盒子都不空，恰有两个小球放入编号相同的盒子，有多少种放法？
（3）若每个盒子都不空，且编号为偶数的小球只放入编号为偶数的盒子中，有多少种放法？

Answer 1

分析 （1）分三个盒子中球的个数为“122型”或“113型”两种情况讨论即可；
（2）利用捆绑法计算即得结论；
（3）分2号球入2号盒、4号球入4号盒，2号球入4号盒、4号球入2号盒两种情况讨论即可．

解答 解：（1）依题意，三个盒子中球的个数为“122型”或“113型”，
①若为“122型”时，此时有${C}_{3}^{1}$•${A}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$=360种放法；
②若为“112型”时，此时有${C}_{3}^{1}$•${A}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{1}$=180种放法；
综上所述，若恰有一个盒子不放球，有360+180=540种放法；
（2）将放入编号相同盒子的两球看做一个小球，则相当于将4个小球放入4个不同的盒子，
故有${C}_{5}^{2}$•${A}_{4}^{4}$=240种放法；
（3）∵每个盒子都不空，
∴恰有一个盒子有2个球，其他的盒子均有一个球，
依题意，分以下情况讨论：
①当2号球入2号盒时，则4号球必入4号盒，
此时有${A}_{3}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=12种放法；
②当2号球入4号盒时，则4号球必入2号盒，
此时有${A}_{3}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=12种放法；
综上所述，有12+12=24种放法．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．