Question

14．在等腰三角形中，已知顶角θ的正弦值为$\frac{3}{5}$，试求该三角形底角的正弦、余弦和正切值．

Answer 1

分析 设出底角为α，根据三角形的内角和定理表示出底角，由题意得到sinα的值，由α为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进一步求得三角形底角的正弦、余弦和正切值．

解答 解：设等腰三角形的底角为α，则2α+θ=π，
∴$α=\frac{π-θ}{2}=\frac{π}{2}-\frac{θ}{2}$，
又sin$θ=\frac{3}{5}$，
∴cosθ=$±\frac{4}{5}$，
当cos$θ=\frac{4}{5}$时，sinα=sin（$\frac{π}{2}-\frac{θ}{2}$）=cos$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cosθ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{4}{5}}{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}=3$；
当cosθ=$-\frac{4}{5}$时，sinα=sin（$\frac{π}{2}-\frac{θ}{2}$）=cos$\frac{θ}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cosθ}{2}}$=$\sqrt{\frac{1-\frac{4}{5}}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}=\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{10}）^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了同角三角函数间的基本关系，等腰三角形的性质，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是中档题．