Question

2．已知不等式x²-kx+k-1＞0．
（1）若k=2，求不等式x²-kx+k-1＞0的解集；
（2）若不等式x²-kx+k-1＞0对x∈（1，2）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二次不等式的解法：配方，即可得到所求解集；
（2）化简二次不等式可得（x-1）（x-（k-1））＞0，对k讨论，k=2，k＞2，k＜2，求得解集，即可判断k的范围．

解答 解：（1）k=2，不等式x²-kx+k-1＞0，即为
x²-2x+1＞0，即有（x-1）²＞0，
解得x≠1，
则解集为{x|x∈R且x≠1}；
（2）x²-kx+k-1＞0即为（x-1）（x-（k-1））＞0，
当k=2时，解集为{x|x∈R且x≠1}，不等式在（1，2）恒成立；
当k＞2时，解集为{x|x＞k-1或x＜1}，不等式在（1，2）不成立；
当k＜2时，解集为{x|x＞1或x＜k-1}，不等式在（1，2）恒成立．
综上可得，k的范围是（-∞，2]．

点评 本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．