Question

7．已知命题p：“在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，则|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|”，则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 分别写出命题p的逆命题、否命题和逆否命题，再判定它们的真假性．

解答 解：命题p中，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BA}$|×|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，
∴|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，即点C在底边AB上的射影是底边AB的中点，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，p是真命题；
则命题p的逆命题是：“在△ABC中，若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$”，它是真命题；
∵|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，∴|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，
∴|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAB=|$\overrightarrow{BA}$|×|$\overrightarrow{BC}$|cos∠CBA，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，命题正确；
命题p的否命题是：“在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≠$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$，则|$\overrightarrow{AC}$|≠|$\overrightarrow{BC}$|”，它是真命题；
命题p的逆否命题是：“在△ABC中，若|$\overrightarrow{AC}$|≠|$\overrightarrow{BC}$|，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$≠$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$”，它是真命题．
综上，命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有3个．
故选：D．

点评 本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，也考查了平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．