Question

9．已知数列{a_n}满足S_n+1=a_n+n²
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若m$＜\frac{1}{{T}_{n}}$＜m+50对任意正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=2时，可得数列的首项为3，再将n换为n-1相减可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]，运用裂项相消求和可得前n项和为T_n，判断单调性可得范围，再由不等式恒成立思想可得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当n=2时，S₂+1=a₂+4，
可得a₁+a₂+1=a₂+4，即有a₁=3，
由S_n+1=a_n+n²
当n＞1时，S_n-1+1=a_n-1+（n-1）²，
两式相减可得a_n=a_n-a_n-1+2n-1，
可得a_n-1=2n-1，即有a_n=2n+1，n＞1．
对n=1也成立．
则{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）（2n+5）}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]，
前n项和为T_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{3•5}$-$\frac{1}{5•7}$+$\frac{1}{5•7}$-$\frac{1}{7•9}$+…+$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]
=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]，
可得数列{T_n}为递增数列，即有T₁=$\frac{1}{105}$为最小值，且T_n＜$\frac{1}{60}$，
即有60＜$\frac{1}{{T}_{n}}$≤105，
m$＜\frac{1}{{T}_{n}}$＜m+50对任意正整数n恒成立，可得
m≤60，且m+50＞105，
解得55＜m≤60．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相减法，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，考查数列的单调性及运用，属于中档题．