Question

18．设x＞0，y＞0，若log₂3是log₂x与log₂y的等差中项，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由已知结合等差中项的概念求得xy=9，再利用不等式的性质求得$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的最小值．

解答 解：∵log₂3是log₂x与log₂y的等差中项，
∴log₂x+log₂y=2log₂3=log₂9，
则log₂xy=log₂9，
∴xy=9．
则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$$≥2\sqrt{\frac{1}{xy}}=2\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查等差中项的概念，考查了对数的运算性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．