Question

8．已知正实数x，y满足等式$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$=2．
（1）求xy的最小值；
（2）若3x+y≥m²-m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知利用基本不等式，构造关于$\sqrt{xy}$的一元二次不等式，求解即可．
（2）由已知利用基本不等式求出3x+y的最小值，代入6≥m²-m求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵正实数x，y满足等式$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$=2，
∴$\frac{y+3x}{xy}$=2，即y+3x=2xy，
∵y+3x=2xy，
∴xy=$\frac{1}{2}$（y+3x）=$\frac{1}{2}$（y+3x）×$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$）=$\frac{1}{4}$（y+3x）×（$\frac{1}{x}$+$\frac{3}{y}$）=$\frac{1}{4}$（6+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$），
又$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{9x}{y}}$=6，当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{9x}{y}$即y=3x时等号成立，
∴xy=$\frac{1}{4}$（6+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$）≥$\frac{1}{4}$×12=3，
即xy最小值为3，当y=3x=3是取得最小值．
（2）∵3x+y=2xy≥6，
∴6≥m²-m恒成立，
即（m+2）（m-3）≤0，
∴-2≤m≤3，
故实数m的取值范围[-2，3]

点评 本题考查恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．