Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（1-x），x＜0}\\{（x-1）^{3}+1，x≥0}\end{array}\right.$，若存在x₀，使得f（x₀）＜ax₀成立，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 当a＞0时，直线y=ax与y=（x-1）³+1（x≥0）相切，设切点为（m，am），求得x＞0的函数的导数，解方程可得m．可得a的值，结合图象可得a的范围；再由a＜0，结合图象即可得到所求范围．

解答 解：当a＞0时，直线y=ax与y=（x-1）³+1（x≥0）相切，
设切点为（m，am），由y=（x-1）³+1的导数为y′=3（x-1）²，
可得a=3（m-1）²，am=（m-1）³+1，解方程可得m=$\frac{3}{2}$，a=$\frac{3}{4}$．
由图象可得a＞$\frac{3}{4}$；
当a＜0时，在x＜0时，不等式成立．
综上可得a的范围是（-∞，0）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，以及导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于中档题．