Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，2a_n+1=2a_n+1（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿa_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得数列{a_n}是首项和公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，由通项公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=2ⁿa_n+1=（n+1）•2^n-1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{2}$，
即有a_n=a₁+（n-1）d=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n；
（Ⅱ）b_n=2ⁿa_n+1=（n+1）•2^n-1，
前n项和S_n=2•1+3•2+…+n•2^n-2+（n+1）•2^n-1，
2S_n=2•2+3•2²+…+n•2^n-1+（n+1）•2ⁿ，
相减可得，-S_n=2+（2+…+2^n-2+2^n-1）-（n+1）•2ⁿ
=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（n+1）•2ⁿ，
化简可得，前n项和S_n=n•2ⁿ．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等比数列的求和公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．