Question

3．已知函数f（x）=cos2x+cos²x+tsinx在x∈（0，π）上恒大于0，则实数t的取值范围为（1，+∞）．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系可得t＞$\frac{{3sin}^{2}x-2}{sinx}$=3sinx-$\frac{2}{sinx}$．利用基本不等式求函数3sinx-$\frac{2}{sinx}$ 的最大值，可得t的范围．

解答 解：函数f（x）=cos2x+cos²x+tsinx=1-2sin²x+1-sin²x+tsinx=-3sin²x+tsinx+2＞0恒成立，
∴t＞$\frac{{3sin}^{2}x-2}{sinx}$=3sinx-$\frac{2}{sinx}$．
令m=sinx，m∈（0，1]，则t＞3m-$\frac{2}{m}$．
由于函数y=3m-$\frac{2}{m}$ 在（0，1]上是增函数，故当m=1时，y取得最大值为1，
∴t＞1，即实数t的取值范围为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，求函数的最值，基本不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．