Question

13．下面是关于公差d＞0的等差数列{a_n}的四个命题：
（1）数列{a_n}是递增数列；
（2）数列{na_n}是递增数列；
（3）数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$是递减数列；
（4）数列{a_n+3nd}是递增数列．
其中的真命题的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意写出等差数列的通项公式，根据d＞0说明（1）正确，然后逐一写出（2）、（3）、（4）所对应的函数式，再利用函数的单调性加以判断．

解答 解：设等差数列的首项为a₁，公差d＞0，则a_n=a₁+（n-1）d=dn+a₁-d，
∴数列{a_n}是递增数列，故（1）正确；
$n{a}_{n}=d{n}^{2}+（{a}_{1}-d）n$，当n$＜\frac{d-{a}_{1}}{2d}$时，数列{na_n}不是递增数列，故（2）错误；
$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，当a₁-d≤0时，数列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$不是递减数列，故（3）错误；
a_n+3nd=4nd+a₁-d，数列{a_n+3nd}是递增数列，故（4）正确．
∴真命题个数有2个．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了命题的真假判断与应用，考查数列的函数特性，是中档题．