Question

3．已知函数f（x）=cosωx-sinωx（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，则ω的取值不可能为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得f（x）的减区间，结合条件可得，-$\frac{π}{4ω}$≤-$\frac{π}{2}$，且 $\frac{3π}{4ω}$≥$\frac{π}{2}$，由此求得ω的范围，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=cosωx-sinωx=$\sqrt{2}$cos（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
∴2kπ≤ωx+$\frac{π}{4}$＜≤2kπ+π，求得-$\frac{π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{3π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$ （k∈Z）．
∵f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，∴-$\frac{π}{4ω}$≤-$\frac{π}{2}$，且 $\frac{3π}{4ω}$≥$\frac{π}{2}$，
求得 0＜ω≤$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性，属于基础题．