Question

12．自平面上一点O引两条射线OA，OB，P在OA上运动，Q在OB上运动且保持|$\overrightarrow{PQ}$|为定值2$\sqrt{2}$（P，Q不与O重合）．已知∠AOB=120°，
（1）PQ的中点M的轨迹是椭圆的一部分（不需写具体方程）；
（2）N是线段PQ上任-点，若|OM|=1，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围是[1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．

Answer 1

分析 （1）以OB为x轴，过O垂直于OB的直线为y轴，求出P，Q，M的坐标，利用余弦定理，可得结论；
（2）利用平行四边形的对角线的平方和等于1，结合a²+b²+ab=8，求出a，b，可得P，Q，M的坐标，利用向量的数量积公式可得结论．

解答 解：（1）以OB为x轴，过O垂直于OB的直线为y轴，|OQ|=a，|OP|=b，则P（-$\frac{b}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），Q（a，0），
∴M（$\frac{2a-b}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$b），
设M（x，y），则x=$\frac{2a-b}{4}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b，
∴a=2x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$y
由余弦定理可得a²+b²+ab=8，
∴3x²+4$\sqrt{3}$xy+7y²=6，
∴PQ的中点M的轨迹是椭圆的一部分；
（2）∵|$\overrightarrow{PQ}$|为定值2$\sqrt{2}$，|OM|=1，
∴a²+b²=6，
∵a²+b²+ab=8，
∴ab=2，
∴a=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$，
∴P（-$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{4}$），Q（$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$，0），M（$\frac{\sqrt{10}+3\sqrt{2}}{8}$，$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{8}$），
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OP}$=1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OQ}$=1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OM}$=1
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的取值范围是[1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．
故答案为：椭圆；[1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$]．

点评 本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．