Question

15．已知f（x）=sinx+cosx（x∈R），令f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），则f₂₀₁₈（$\frac{π}{4}$）=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． -$\sqrt{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 由题意求解可得周期为4，可得f₂₀₁₈（x）=f₂（x），代值计算可得．

解答 解：∵f（x）=sinx+cosx（x∈R），
∴f₁（x）=f′（x）=cosx-sinx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
∴f₃（x）=f₂′（x）=-cosx+sinx，
∴f₄（x）=f₃′（x）=sinx+cosx，
∴函数f_n+1（x）的周期是4，
∴由周期性可得∴f₂₀₁₈（x）=f₂（x）=sinx+cosx
∴f₂₀₁₈（$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\sqrt{2}$
故选：C．

点评 本题考查导数的运算，涉及三角函数的导数和周期性，属基础题．