Question

3．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，x≥2}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜2}\end{array}\right.$，对于任意的实数x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＜0
• B． a≤0
• C． a≤-$\frac{11}{8}$
• D． a＜-$\frac{11}{8}$

Answer 1

分析 由题意可得f（x）在R上为递减函数，运用指数函数和一次函数的单调性，注意分界点x=2，可得2a+2≤（$\frac{1}{2}$）²-1，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：任意的实数x₁≠x₂都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0成立，可得
f（x）在R上为递减函数，
显然当x＜2时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1递减；
当x≥2时，f（x）=ax+2，由递减函数，可得a＜0，①
由单调性的定义可得2a+2≤（$\frac{1}{2}$）²-1，
解得a≤-$\frac{11}{8}$，②
由①②可得a≤-$\frac{11}{8}$，
故选：C．

点评 本题考查分段函数的运用，考查单调性的运用，注意运用单调性的定义，考查指数函数和一次函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．