Question

11．某地修建防洪渠道，其直截面图是等腰梯形ABCD（如图），底CD=40，腰AD=40，为使防洪渠道的通水量最大，应将防洪渠道的上口AB的宽设计为多少？

Answer 1

分析 设∠A=θ，则梯形的高为40sinθ，下底长为40+80cosθ，求出面积，利用导数的方法求解即可．

解答 解：设∠A=θ，则梯形的高为40sinθ，下底长为40+80cosθ，
所以梯形的面积为：S=$\frac{（40+40+80cosθ）×40sinθ}{2}$=1600（sinθ+sinθcosθ）
求导得S′=1600（cosθ+1）（2cosθ-1）
所以当θ∈（0，$\frac{π}{3}$）时，S＞0；当θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）时，S＜0，
所以S在θ=$\frac{π}{3}$时取得极大值，也即最大值，此时AB=80．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，正确表示梯形的面积是关键．