Question

1．已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2c²-c+b²=0，则$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{12}$
• B． $\frac{1}{24}$
• C． $\frac{1}{8}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 由b²=c-2c²＞0得出c的范围，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BC}$，根据向量的数量级定义得出$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$关于c的函数．求出此函数的最大值即可．

解答 解：过OOD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则D，E分别是AB，AC的中点．
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=AC•AE-AB•AD=$\frac{{b}^{2}-{c}^{2}}{2}$．
∵2c²-c+b²=0，∴b²=c-2c²＞0，解得0$＜c＜\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{c-3{c}^{2}}{2}$=-$\frac{3}{2}$（c-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{24}$．
∴当c=$\frac{1}{6}$时，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$取得最大值$\frac{1}{24}$．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，二次函数的最值，属于中档题．