Question

6．已知函数f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$．
（1）求曲线f（x）在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）求证：$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（e），再求出f（e），代入直线方程的点斜式得答案；
（2）利用导数证明函数f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在x＞1时为增函数，把要证得不等式两边取自然对数，转化为证明$\frac{2015ln2015}{2015-1}＜\frac{2016ln2016}{2016-1}$，则由（1）中的单调性得答案．

解答 （1）解：由f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，得f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
∴f′（e）=$\frac{e-2}{（e-1）^{2}}$，而f（e）=$\frac{e}{e-1}$，
∴曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y-$\frac{e}{e-1}=\frac{e-2}{（e-1）^{2}}（x-e）$，
整理得：（e-2）x-（e-1）²y+e=0；
（2）证明：要证$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$，需要证ln$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞ln$\frac{2015}{2016}$，
即证：$\frac{1}{2016}ln2015-\frac{1}{2015}ln2016＞ln2015-ln2016$，
也就是证：$\frac{2015ln2015}{2015-1}＜\frac{2016ln2016}{2016-1}$，
令g（x）=x-lnx-1，则g′（x）=x-$\frac{1}{x}=\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，
∴g（x）=x-lnx-1＞g（1）=0，
即当x＞1时，f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$＞0，
∴函数f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在x＞1时为增函数，则$\frac{2015ln2015}{2015-1}＜\frac{2016ln2016}{2016-1}$，
故$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用函数单调性证明数列不等式，是中档题．