Question

1．设数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n，我们称满足条件“对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m）”的数列{a_n}为“L数列”．现已知数列{a_n}为“L数列”，且a₂₀₁₆=3000，则a_n=984+n或3000．

Answer 1

分析 对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m），令m=1，则（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-a₁）．化为na_n+1=S_n+1+S_n-（n+1）a₁，n≥2时，（n-1）a_n=S_n+S_n-1-na₁，化为（n-1）a_n+1-na_n=-a₁，利用递推关系可得：a_n+1+a_n-1=2a_n．因此数列{a_n}是等差数列．由a₂₀₁₆=3000=a₁+2015d，即3000-a₁=2015d，由于数列{a_n}的各项均为正整数，可得d=0或1．即可得出．

解答 解：∵对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m），
令m=1，则（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-a₁）．化为na_n+1=S_n+1+S_n-（n+1）a₁，
n≥2时，（n-1）a_n=S_n+S_n-1-na₁，
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+1+a_n-a₁，
∴（n-1）a_n+1-na_n=-a₁，
（n-2）a_n-（n-1）a_n-1=-a₁，
∴（n-1）（a_n+1+a_n-1）=2（n-1）a_n，
∴a_n+1+a_n-1=2a_n．
∴数列{a_n}是等差数列．
∵a₂₀₁₆=3000=a₁+2015d，即3000-a₁=2015d，
∵数列{a_n}的各项均为正整数，∴d=0或1．
若d=0，则a_n=a₂₀₁₆=2016．
若d=1，则a₁=885，∴a_n=985+（n-1）=984+n．
故答案为：984+n或3000．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．