Question

10．在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₅的等差中项是9$\sqrt{3}$．
（1）求a₁的值；
（2）若函数y=a₁sin（$\frac{π}{4}x+$φ），0＜φ＜π的一部分图象如图所示，M（-1，a₁），N（3，-a₁）为图象上的两点，设∠MON=θ，其中O为坐标原点，0＜θ＜π，求cos（θ-φ）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用等差中项、等比数列的定义，求得a₁的值．
（2）由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，△MON中，再利用余弦定理求得cosθ的值，再利用两角差的余弦公公式，求得cos（θ-φ）的值．

解答 解：（1）∵公比为2的等比数列{a_n}中，
a₂与a₅的等差中项是9$\sqrt{3}$，
$\frac{{a}_{2}{+a}_{5}}{2}$=$\frac{{a}_{2}+{8a}_{2}}{2}$=9$\sqrt{3}$，
∴a₂=2$\sqrt{3}$=2a₁，
∴a₁=$\sqrt{3}$．
（2）若函数y=a₁sin（$\frac{π}{4}x+$φ）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}x+$φ），0＜φ＜π的一部分图象如图所示，M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，-$\sqrt{3}$）为图象上的两点，
结合五点法作图可得$\frac{π}{4}$•（-1）+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{3π}{4}$，故y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}x+$$\frac{3π}{4}$）．
△MON中，由∠MON=θ，其中O为坐标原点，利用余弦定理可得cosθ=$\frac{{OM}^{2}{+ON}^{2}{-MN}^{2}}{2OM•ON}$=$\frac{4+12-28}{8\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
再结合0＜θ＜π，可得θ=$\frac{5π}{6}$，
求cos（θ-φ）=cos（$\frac{5π}{6}$-$\frac{3π}{4}$）=cos$\frac{π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查等差中项、等比数列的定义，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了余弦定理、两角差的余弦公公式，属于基础题．