Question

15．对于函数f（x）=x|3x-x²|+1，有（　　）

• A． 极大值为f（2）=5，极小值为f（3）=1，f（-1）=-3
• B． 极大值为f（2）=5，极小值为f（3）=f（0）=1
• C． 极大值为f（2）=5，极小值为f（3）=1
• D． 极大值为f（2）=5，极小值为f（0）=1

Answer 1

分析 运用分段函数的形式写出f（x），讨论当0≤x≤3时，求出导数和单调区间，可得f（2）为极大值；当x＜0或x＞3时，求出f（x）的导数，判断单调性，可得f（3）为极小值．

解答 解：函数f（x）=x|3x-x²|+1=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-{x}^{3}+1，0≤x≤3}\\{{x}^{3}-3{x}^{2}+1，x＞3或x＜0}\end{array}\right.$，
当0≤x≤3时，f（x）=3x²-x³+1的导数为f′（x）=6x-3x²，
当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；2＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=2处取得极大值，且为5；
当x＜0或x＞3时，f（x）=x³-3x²+1的导数为f′（x）=3x²-6x，
x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞3时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有x=3处取得极小值，且为1．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，注意运用极值的定义判断，考查运算能力，属于基础题．