Question

11．已知函数f（x）=|x-a|+|x+2|．
（1）当a=1，解不等式f（x）＜5；
（2）对任意x∈R，不等式f（x）≥3a-2都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把不等式f（x）≤5等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得函数f（x）的图象不能在y=3a-2的图象的下方，数形结合求得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-l|+|x+|=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥1}\\{3，-2＜x＜1}\\{-2x-1，x≤-2}\end{array}\right.$，
f（x）＜5，可得2x+＜5（x≥1）或3＜5（-2＜x＜1）或-2x-1＜5（x≤-2）
解得-3＜x＜2．不等式的解集为：{x|-3＜x＜2}．
（2）若不等式f（x）≥|x-a=x-2|=|a+2|，由题意，对任意x∈R，不等式f（x）≥3a-2都成立，
可得：|a+2|≥3a-2．在坐标系中画出y=|a+2|与y=3a-2的图象如图．
可得得：a≤2．

点评 本题主要考查分段函数的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．