Question

6．等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}中各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，数列{b_n}的公比$q=\frac{S_2}{b_2}$．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求数列{（-1）ⁿa_n•b_n}的前2n项的和．

Answer 1

分析 （1）通过联立S₂=12-b₂=12-q与q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$，计算可知q=3，进而可得公差d=3，分别利用等差数列、等比数列的通项公式计算即得结论；
（2）通过（1）可知，c_n=（-1）ⁿa_n•b_n=（-1）ⁿn•3ⁿ，从而计算T_2n=-1•3¹+2•3²-3•3³+…-（2n-1）•3^2n-1+（2n）•3²ⁿ即可，通过记T_2n′=2•3²+4•3⁴+…+（2n）•3²ⁿ、T_2n″=1•3¹+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1，分别利用错位相减法计算，进而利用T_2n=T_2n′-T_2n″计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁=3，b₂+S₂=12，b₁=1，
∴S₂=12-b₂=12-q，
又∵q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$，
∴$q=\frac{12-q}{q}$，
解得：q=3或q=-4（舍去），S₂=9，
d=a₂-a₁=S₂-2a₁=3，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，
b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知，c_n=（-1）ⁿa_n•b_n=（-1）ⁿn•3ⁿ，
记数列{（-1）ⁿa_n•b_n}的前2n项的和为T_2n，则
T_2n=-1•3¹+2•3²-3•3³+…-（2n-1）•3^2n-1+（2n）•3²ⁿ，
记T_2n′=2•3²+4•3⁴+…+（2n）•3²ⁿ，
则9T_2n′=2•3⁴+4•3⁶+…+（2n）•3²ⁿ⁺²，
两式相减得：$-8{T_{2n}}^′=2×{3^2}+2×{3^4}+2×{3^6}+…+2×{3^{2n}}-（2n）×{3^{2n+2}}$
=$2×\frac{{{3^2}（1-{9^n}）}}{1-9}-（2n）×{3^{2n+2}}$，
∴${T_{2n}}^′=\frac{{9-{9^{n+1}}}}{32}+\frac{{2n×{3^{2n+2}}}}{8}$，
同理，记T_2n″=1•3¹+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1，利用错位相减法计算可知
T_2n″=$\frac{15-3×{9}^{n}}{32}$+$\frac{（2n-1）×{3}^{2n+1}}{8}$，
∴T_2n=T_2n′-T_2n″=$\frac{（24n+3）×{9}^{n}-3}{16}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．