Question

1．已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l过定点，说明定点的坐标与参数k无关，故让k的系数为0 可得定点坐标．
（2）求出A、B的坐标，代入三角形的面积公式化简，再使用基本不等式求出面积的最小值，注意等号成立条件要检验，求出面积最小时的k值，从而得到直线方程．

解答 解：（1）证明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，
∴无论k取何值，直线过定点（-2，1）．
（2）令y=0得A点坐标为（-2-$\frac{1}{k}$，0），
令x=0得B点坐标为（0，2k+1）（k＞0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|-2-$\frac{1}{k}$||2k+1|
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{1}{k}$）（2k+1）=（4k+$\frac{1}{k}$+4）
≥$\frac{1}{2}$（4+4）=4．
当且仅当4k=$\frac{1}{k}$，即k=$\frac{1}{2}$时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为$\frac{1}{2}$x-y+1+1=0．即x-2y+4=0．

点评 本题考查过定点的直线系方程特征，以及利用基本不等式求表达式的最小值．考查转化思想以及计算能力．